(-1)×(-1)=1はなぜか？
-1とは負の整数の１つで、その中で最大の数であり、
を満たす数のこと。
ここで、負の整数について考えることで、なぜ(-1)×(-1)=1となるのかを考える。
さて、−１とは何かを説明する前に１とは何かを考える。
辞書を見ると、
１とは、「数字の１つで、最小の正の整数」である。
ここで、正の整数とは簡単な表現をすれば、モノの数を数えるための数字の集合こと。
ex)りんごがある⇒ 個数は？
左図のリンゴの状態を１（個）と表現する。
で、この１という表現を用いて、以下のりんごの個数を表現すると、
例として、「りんごが１個ともう１個ある」。この「１個ともう１個」というのは言葉として長いので、２（個）と表現することにする。このような考えの繰り返しで、現代で使用されている1,2,3,4,5,6,7,8,9・・・という正の整数が考えられた。ちなみに、何もないという表現で用いることで０と数字も考えられた。（正の整数には０は含めない。）
１と２の関係性を考えると、「１個ともう１個」という表現が「２個」と表したが、これをもう少し簡略的な表現にするために、演算という考えを用いる。それは「＋」という演算で「足す」を表現する。すると、（「＝」は「等価」として使う）
「１個ともう１個」が「２個」⇒ 1 + 1 = 2 ※数式と呼ばれるものである。
3個の場合は2個ともう1個なので、2 + 1 = 3と表現できる。
さらに１のみで表現すると1 + 1 = 2 だから1 + 1 + 1 = 3。
以下同じように考えて、「1」と「+」を用いて、残りの数字を定義することで、モノを数えることができるようになった。
ちなみに、0 + 1 = 1とする。これは「何もない」ところに１が足されると考えることができるから。
さて、演算として「1+」とは数字に１を足していく操作である。現実であれば、1個のリンゴにもう1個追加して、2個のリンゴにすることは前述した。ただ、大きい正の整数を表現するには、「1+」のみ演算だと表記が困難である。例えば、10000は
この「１が10000個」という表現を演算を用いて簡略的に表記することを考える。そのため、「１が10000個」⇒1 × 10000と表記とし、これを10000とするので、1 × 10000 = 10000と表記できた。要するに、「1×」とは掛ける対象をそのまま出力操作と読み替えることができる。（ちなみに、1 × 0 = 0は「１がない」ことを意味すると捉えられるから、1 × 0 = 0）
さて、１を用いた演算のルールとして以下のようにまとめる。
① 1 + 1 = 2 :「1+」とは数字に１を足していく操作。
② 1 ×？＝？：「1×」とは対象（例として？）をそのまま出力する操作。
③ 0とは、１＋０＝１かつ1 × 0 = 0満たす数字。
④１とは、最小の正の整数であり、モノを数える上での最小の数字。
０と正の整数を含めた数字の集合を自然数という。（0を含めない考えもあるが、ここでrは含むとする）現代においては０個という表現もあるので、モノの数を数える上では自然数を用いることが多い。
つまり、一番小さい数は0ということになるが、それ以下は本当にないのだろうか？その為に、１に何かを足したら、０となる数字を定義してみるのである。この何かと表現した数字を（-1）と表現する。
すなわち、 が（-1）の定義とした。（一番最初にこそっと書いたこと）これにより、負の整数を定義することができた*1。一般に、負の整数は正の整数の前に「ー」を付けて「マイナス」と呼んで表記する。
これらは上のような関係性があり、これらの数を整数と呼ぶ。
（厳密には他に定義することがあるが、今回の本題から逸れるので、深入りしない）
ここからが本題の(-1)×(-1)=1となる理由だが、まず(-1)の定義は以下の通り、
これに(-1)を掛けると、
ここでルール②により、(-1) × 1 = (-1)
ここでルール③と(-1)の定義により、(-1) × 0 = 0.*2.
より、
これと、(-1)の定義、1 + (-1) = 0と見比べてみると、
となる。
